Nic, czyli ile?

 Nic, czyli ile?

Dziś pochylimy się nad liczbą, której bardzo długo nie było. Odkryto ją dopiero w V wieku naszej ery. Właściwie, po części nadal jej nie ma, bo czy jeśli czegoś jest zero, to mówimy, że jest, czy że tego właśnie nie ma?

Tak, zero to liczba szczególna. Jej wyjątkowość zaczyna się już przy określaniu, czy jest dodatnia czy ujemna. Otóż, jako jedyna liczba rzeczywista ani nie jest dodatnia, ani ujemna.

Natomiast przyjmujemy ją za liczbę naturalną. Dzieje się to z tego powodu, że zbiór liczb naturalnych składa się z wszystkich liczności zbiorów. Zatem liczbą naturalną jest np. liczba 5, bo zbiór może mieć pięć elementów. Liczbą naturalną jest też liczba 1, bo zbiór może mieć jeden element. Istnieje też coś takiego jak zbiór pusty. Taki zbiór nie ma ani jednego elementu, czyli ma tych elementów zero. Zatem 0 jest najmniejszą liczbą naturalną. 

Liczba 0, to jedyna liczba, która jest równa liczbie do niej przeciwnej.

Wyobraźmy sobie, że matematyka nie byłaby tak ścisła i jednoznaczna. Wtedy możliwe by się mogło nawet okazać, że 4 = 5.

Zobaczmy teraz anegdotyczny dowód na to (wykorzystujemy w nim zapis zera na dwa sposoby, a następnie wyłączenie czynnika przed nawias i skrócenie przez tan sam czynnik obu stron równania):

Okazuje się, że jest tutaj błąd. Otóż w nawiasie (4 - 3 - 1) mamy zakamuflowane zero. Nie możemy dzielić przez zero, więc nie możemy też skrócić obu stron równania dzieląc przez ten nawias.

Ten zabawny przykład pokazuje nam, że nie możemy dzielić przez zero, bo wtedy mogłyby zachodzić różne sprzeczności

Ogólnie, skoro nie możemy dzielić przez zero, to wiemy, że nie istnieje odwrotność liczby 0.

Zero nie jest dzielnikiem żadnej liczby, ale wielokrotnością już tak. Właściwie każdej liczby całkowitej zero jest wielokrotnością. Dlaczego?

Wiemy, że liczba "w" jest wielokrotnością liczby "z" jeśli istnieje taka liczba "k", że w = z * k, przy czym wszystkie muszą być całkowite.

I teraz  zauważmy, że dla dowolnej liczby z, jeśli weźmiemy k równe zero, to otrzymamy 0=0*z, czyli 0=0, a więc, że 0 jest wielokrotnością liczby z.

Zero to ciekawa liczba ze względu na jej zachowanie w działaniach. Otóż jeśli pojawia się w sumie, to jest całkowicie neutralna, nie zmienia wartości tej sumy. Jeśli znajduje się w różnicy, to wtedy w zależności od miejsca, w którym się znajduje, albo nie zmienia tej różnicy (jeśli jest odjemnikiem), albo zmienia liczbę na przeciwną (jeśli jest w odjemnej). 

W przypadku mnożenia zawsze daje wynik 0.

Natomiast przy dzieleniu też zawsze daje wynik zero, ale tutaj może być tylko w dzielnej (czyli tylko w liczniku ułamka).

Każda liczba do potęgi zerowej (z wyjątkiem zera) jest równa 1.

Natomiast zero do potęgi zerowej nie istnieje. Takie wyrażenie nazywamy nieoznaczonym.

Jako wynik z dzielenia możemy uzyskać 0, tylko w przypadku gdy 0 jest dzielną. 

Trochę inaczej rzecz po przejściu do granic:

Otóż licząc granice napotykamy na różne ułamki. Jeśli ich liczniki zmierzają do stałej liczby niezerowej, a mianowniki do zera, to całe ułamki zmierzają do nieskończoności.

Jeżeli natomiast  licznik zmierza do stałej liczby niezerowej, a mianownik do zera, to cały ułamek zmierza do nieskończoności

Teraz, dla odmiany zapiszemy granicę funkcji:

Jest to niewątpliwie zajmujące zagadnienie, ale to już zupełnie inny temat...