Mniej niż zero - czyli o liczbach ujemnych

                      Mniej niż zero - czyli o liczbach ujemnych

 

Liczby ujemne, choć tak częste w życiu codziennym (temperatura w zimie, pożyczka pieniędzy, inflacja) nadal wydają się być dla nas mało intuicyjne. 
Nie umiemy sobie wyobrazić co powinno być sumą, tym bardziej różnicą takich liczb.
Dlatego zdarza się, że pomijamy znak (albo przez niedopatrzenie, albo przez błędnie zastosowaną regułę, że "parzysta liczba minusów daje plus", odnoszącą się do mnożenia/dzielenia):

Oto poprawny wynik:

Zawsze możemy wyobrazić sobie to w najprostszy możliwy sposób: Jeśli mamy trzy złote długu i dodamy do tego jeszcze 10 złotych długu, to razem mamy 13 złotych długu.

Zamiast powyższej sumy możemy zapisać następującą różnicę:

Poprawne obliczenie jest następujące:

Taką różnicę możemy zinterpretować następująco: 

Mamy trzy złote długu, po czym pożyczamy jeszcze 10 złotych.

W przypadku sumy/różnicy liczby ujemnej i dodatniej również pojawiają się błędy. Oto jeden z nich:

Poprawnie byłoby tak: 

Dodawanie liczb różnych znaków, to zwyczajne odejmowanie jednej od drugiej. Tutaj można powrócić do interpretacji z długiem:

Mamy siedem złotych długu, ale dostaliśmy 10 złotych. Ile, po oddaniu długu nam zostanie?

Można odnieść się również do temperatury:

Rano było 7 stopni mrozu. W ciągu dnia temperatura wzrosła o 10 stopni. Ile stopni teraz pokazuje termometr?

Przy takich działaniach można też posługiwać się pewnym automatyzmem, polegającym na tym, że sprawdzamy, która z liczb byłaby większa, gdyby nie było znaków i jej znak zapisujemy w wyniku, a sama liczba jaką otrzymamy, to różnica między jedną, a drugą (bez znaku). Wykorzystując ten zabieg porównujemy 7 i 10. Zauważamy, że 10 > 7, więc wynik będzie miał znak liczby 10 czyli będzie z plusem. Na końcu odejmujemy 10 - 7 i otrzymujemy 3.

Odrębnym zagadnieniem jest mnożenie/dzielenie liczb ujemnych.

Tutaj zwykle pojawia się problem ze znakiem. Ogólnie rzecz biorąc można korzystać z faktu, że parzysta ilość liczb ujemnych w mnożeniu/dzieleniu daje liczbę dodatnią. 

Zatem poprawne działania wyglądają następująco:

Mimo, iż to wiemy, zdarza się, że błąd pojawia się w takim działaniu:

Oto poprawne obliczenie:

Być może to błędne zostawienie znaku wynika z dwojakiego podejścia do znaku minus. Z jednej strony traktujemy go jako znak liczby ujemnej, a z drugiej strony jako symbol odejmowania. To może prowadzić do swoistej niejasności. Na pewnym etapie edukacji, niejasność ta zostaje usunięta, niemniej dość często minus przed iloczynem jest pomijany w całym iloczynie.

Jak możemy sobie z tym poradzić? Najprościej z możliwych sposobów jaki możemy zastosować, to potraktowanie symbolu odejmowania przed iloczynem jako znak pierwszego czynnika. Tu musimy tylko pamiętać, że znak otrzymanego w ten sposób iloczynu będzie również znakiem działania pomiędzy wcześniejszym wyrażeniem, a obliczonym iloczynem.

Czy umiemy w łatwy, obrazowy sposób wyjaśnić, że "minus razy minus daje plus"?

O ile intuicyjnie rozumiemy, że iloczyn liczby ujemnej i dodatniej jest ujemny (np. trzykrotny wzrost mrozu, czterokrotny wzrost zadłużenia), to już z iloczynem dwóch liczb ujemnych tak nie jest.

Zamiast zatem szukać zgrabnego przykładu, spróbujmy posłużyć się prostym równaniem.

Na początek obliczmy ile wynosi iloczyn liczb (- 4) i 8.

W tym celu wykorzystamy fakt, że   4 + (- 4 ) = 0. 

Wykorzystując, że suma liczb przeciwnych jest zawsze równa zero obliczmy teraz iloczyn liczb (-4) i (-8):

Przy okazji liczb ujemnych warto przypomnieć, że im wartość bezwzględna takiej liczby jest większa, tym sama liczba jest mniejsza.

Tzn.     - 3  > - 9

Dlatego właśnie łatwo pomylić się porównując dwa ujemne ułamki:

Wiemy, że w przypadku takich samych mianowników, aby znaleźć liczbę mniejszą patrzymy na to, który licznik jest mniejszy. W tym przypadku mniejszą liczbą jest (-6) zatem zachodzi nierówność: 

Co jednak w przypadku takich samych liczników, a różnych mianowników?

Wtedy, aby znaleźć liczbę większą szukamy mniejszego mianownika.  W przedstawionym przykładzie mamy w mianowniku liczby (-8) i (-9). Mniejsza jest liczba (-9), zatem cały ułamek z tym właśnie mianownikiem będzie większy:

Czasem liczbę ujemną trzeba odjąć. I można przy tym całkiem się zakręcić.

Prawdą jest, że odejmowanie liczby ujemnej, to w istocie dodawanie dodatniej, czyli poprawne jest obliczenie: 

Wyjaśnić ten fenomen możemy następująco:

Jeśli mamy odjąć 8 złotych długu, to jest to równoważne, że te 8 złotych już nie jest długiem, ale naszym majątkiem. 

To trochę tak jakby od kogoś odjąć wady - wtedy ma zalety, albo odjąć smutek - to mamy radość, albo jeszcze: odjąć stratę, to jest zysk.

Liczby ujemne są wyjątkowo ważne przy rozwiązywaniu nierówności.

Zobaczmy na przykład taki sposób rozwiązywania nierówności:

Jest on błędny, tylko z jednego powodu. Otóż jeśli nierówność dzielimy/mnożymy przez liczbę ujemną, to znak nierówności musimy obrócić w drugą stronę. Teraz jest znacznie lepiej:

Zastanówmy się, dlaczego musimy zmieniać ten znak.

W tym celu podzielmy naszą nierówność tylko przez 5. Otrzymamy wtedy, że: 

Na osi liczbowej wyglądałoby to tak:

W ten sposób wiemy, do jakiego przedziału należą liczby przeciwne do x. Wyznaczenie liczb przeciwnych do (-x) daje nam szukane rozwiązanie. Możemy to zrobić na osi liczbowej:

Albo od razu zapisać rozwiązanie 

Zmiana znaku nierówności przy mnożeniu/dzieleniu jej przez liczbę ujemną sprawia, że mając nierówność wymierną, np: 

nie możemy jej po prostu pomnożyć przez mianownik, gdyż nie znamy znaku wyrażenia, które jest w mianowniku. W takim przypadku (żeby nie bawić się w rozpatrywanie przypadków) wystarczy jak przeniesiemy 5 na drugą stronę nierówności, rozszerzymy ją do ułamka o mianowniku (2x - 3), dodamy/odejmiemy ułamki, a potem wykorzystamy fakt, że znak ilorazu liczb jest taki sam jak znak iloczynu tych liczb:

Oczywiście piękno liczb ujemnych poznajemy z czasem, gdyż tak jak cała matematyka pozwala się nam odkrywać kawałek po kawałku.