Kwadratowe koła - o okręgach w różnych metrykach

 Kwadratowe koła - o okręgach w różnych metrykach

Od dzieciństwa wiemy, że koło jest okrągłe i znamy też nierówność, która go opisuje. Wydaje się nam, że jest to jedyna słuszny model. W codziennym życiu pewnie mamy rację. Jednak matematyka, to również pokonywanie granic wyobraźni. Tutaj można inaczej zdefiniować  inaczej odległość między dwoma punktami by już można było zobaczyć cuda.

Zacznijmy zatem od tej odległości. 

Jak wiemy (albo choć intuicyjnie się domyślamy) odległość:

- jest zawsze nieujemna

- jest równa 0 tylko dla równym punktów

- jest taka sama bez względu na kolejność punktów

- jest najkrótszą odległością między punktami (czyli spełnia warunek trójkąta).

Jeśli jako odległość między dwoma punktami przyjmiemy "d", to matematycznie możemy zapisać powyższe warunki w następujący sposób:

W matematyce taką odległość zwykło się nazywać "metryką". My będziemy stosować nazewnictwo zamienne (raz powiemy "metryka", a raz "odległość").

Metryka euklidesowa

W przestrzeni Euklidesa (czyli w tej przestrzeni, w której poruszamy się praktycznie na matematyce przez całą szkołę podstawową i średnią) wiemy, że odległość między dwoma punktami wyraża się w następujący sposób:

Dla formalności możemy sprawdzić, czy spełnione są tutaj wszystkie warunki odległości

Pierwszego warunku nie musimy formalnie sprawdzać, bo suma kwadratów wszystkich liczb rzeczywistych jest nieujemna.

Przejdźmy zatem do dalszych punktów:

Następnie sprawdzamy drugi punkt, jaki musi spełniać odległość między dwoma punktami:

Pozostaje jeszcze nierówność trójkąta. Zaczniemy od rozpisania jednej odległości

Następnie w każdym z tych dwóch nawiasów dopiszemy ukryte zero (nie zmienia ono oczywiście wartości całego wyrażenia):

Pakujemy każde dwa wyrazy w osobny nawias:

I korzystamy ze wzorów skróconego mnożenia (na kwadrat sumy): 

Wiem, że nierówność trójkąta można dowieść z Nierówności Cauchy'ego, ale myślę że znacznie prościej jest teraz zauważyć jedną rzecz. Otóż jeśli mamy pierwiastek z sumy liczb, to jest on mniejszy lub równy sumie pierwiastków z tych liczb. Pokazuje to prosty mini-dowód: 

Wiedząc to, możemy zapisać, że tak rozpisana odległość spełnia nierówność:

W ten sposób pokazaliśmy (coś co od zawsze było dla nas oczywiste :) ), że długość euklidesowa jest odległością w sensie metrycznym.

Wiemy, że okrąg o środku w punkcie "x" i promieniu r (w przestrzeni X) spełnia zawsze równanie:

W naszym przypadku przestrzeń to dwuwymiarowy zbiór liczb rzeczywistych
Możemy zatem zapisać równanie okręgu w tej metryce:

Podnosząc naszą równość do kwadratu uzyskujemy dobrze znane nam równanie okręgu.

Narysujmy jeszcze tylko w tej metryce okrąg o środku w punkcie (0,0) i promieniu r = 3:

I jeszcze koło:

Metryka taksówkowa (miejska)

Wyobraźmy sobie teraz odległość między dwoma punktami określaną w następujący sposób: 

Oto przykładowy odcinek w tej metryce (pomalowany kolorem niebieskim)

Znowu sprawdźmy sobie, czy określona tak odległość spełnia warunki metryki.

Po pierwsze suma wartości bezwzględnych jest zawsze nieujemna (czyli pierwszy warunek mamy niejako od razu). Przejdźmy do pozostałych warunków:

Wartość bezwzględna jest zawsze nieujemna. Jeśli zatem jedna wartość bezwzględna jest równa liczbie przeciwnej do drugiej wartości bezwzględnej, to znaczy, że obie są równe zero.

W ten sposób mamy udowodniony pierwszy warunek metryki.

Sprawdźmy czy zachodzi przemienność. Tutaj wystarczy wykorzystać fakt, że wartości bezwzględne z liczby i z liczby do niej przeciwnej są sobie równe:

Pozostała nam jeszcze nierówność trójkąta
Zapisujemy odległość punktu A od punktu C 

Teraz dopisujemy znowu "zakamuflowane zero":

Zauważmy, że wartość bezwzględna z sumy dowolnych dwóch liczb nie może być mniejsza niż suma wartości bezwzględnych tych liczb. Dlatego możemy zapisać:

Pokazaliśmy, że spełnione są wszystkie trzy warunki metryki.

Tak wygląda przykładowy okrąg w metryce taksówkowej:

Okrąg o środku w punkcie (0,0) i promieniu 3:

  

Metryka rzeka

Kolejnym sposobem na zapisywanie odległości między dwoma punktami w przestrzeni kartezjańskiej jest metryka rzeka.

W tej metryce ważne jest czy punkty, między którymi chcemy wyznaczyć odległość leżą na prostej prostopadłe do osi OX, czy nie.

Narysujmy kilka odcinków wyznaczonych w tej metryce.

Odcinek |CB| jest równy odcinkowi |CD| w metryce euklidesowej, bo jest on prostopadły do osi OX. Natomiast do wyznaczenia długość odcinka |ED| w metryce rzece potrzebujemy zrzutować oba punkty na oś OX i z sumy długości tak otrzymanych odcinków obliczyć szukaną wielkość.

Możemy znowu pobawić się w pokazywanie, że tak wyznaczona zależność jest metryką.

Tym razem spróbujmy uzasadnienia słownego. 

1. Jako, że kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny, to również suma kwadratów liczb rzeczywistych zawsze jest nieujemna. To nam zapewnia nieujemność odległości określonej w ten sposób.

2. Jeśli odległość między dwoma punktami jest równa 0, to punkty te muszą się pokrywać (w przeciwnym wypadku albo uzyskamy odcinek niezerowy, albo sumę odcinków niezerowych) 

3. Odległość nie zależy od kolejności wyboru punktów, bo dokładnie taki sam odcinek (albo sumę odcinków) otrzymamy, gdy punkty zamienimy miejscami.

4. Jeśli wybierzemy trzy punkty A,B,C to mamy trzy opcje ich ułożenia (albo wszystkie będą współliniowe i będą leżały na prostej prostopadłej do OX, albo dokładnie dwa będą leżały na prostej prostopadłej do OX, albo żadne dwa nie będą leżały na takiej prostej).

Zastanówmy się na początek jak wyznaczyć długość odcinka w obu przypadkach. 

Jeśli punkty A i B wyznaczają prostą prostopadłą do OX, to wtedy

Jeśli punkty A i B nie wyznaczają prostej prostopadłej do osi OX, to wtedy długość odcinka możemy obliczyć jako:  

Teraz weźmy trzy dowolne punkty. Zastanowimy się czy nierówność trójkąta zawsze w tej metryce zachodzi.

Na początku weźmy wszystkie punkty współliniowe i leżące na prostej prostopadłej do OX. Wtedy nierówność trójkąta jest zdegenerowana do równania (ale nadal jest spełniona, bo nierówność ta jest słaba).

W takim razie weźmy dwa punkty wyznaczające prostą prostopadłą do OX (np. A i B), a trzeci inny (np. C). Wtedy prawdziwe będą zależności:

Dla tego przypadku sprawdzimy nierówność trójkąta dla dwóch możliwości. W pierwszej wyznaczamy długość odcinka prostopadłego do OX:

Przy drugiej możliwości wyznaczamy długość odcinka nieprostopadłego do OX:

Teraz zauważmy, że prawdziwa jest nierówność: 

Zatem wykorzystajmy ją w dowodzeniu naszej nierówności z |BC|:

Ostatnia możliwość, to przypadek, gdy przez żadne dwa punkty (z punktów A, B i C) nie przechodzi prosta prostopadła do OX. 

W ten oto sposób wykazaliśmy, że przedstawione przekształcenie jest metryką. 

Zobaczmy jeszcze jak wygląda okrąg w tej metryce:

Zauważmy, że w przypadku, gdy rzędna środka okręgu jest większa lub równa długości promienia, to wtedy cały okrąg jest w postaci dwóch punktów (na rysunku to punkty A i B).

Oto przykładowe koła w tej metryce:

Metryka centrum

Kolejnym ciekawym sposobem na wyznaczanie odległości pomiędzy punktami jest metryka centrum. Jest ona określona następująco.

Najpierw zobaczmy jak wyglądają odcinki w tej metryce.

Zastanówmy się czy istotnie jest to metryka.

Warunek o nieujemności jest spełniony, gdyż we wzorze mamy sumę kwadratów liczb rzeczywistych, czyli na pewno liczbę nieujemną.

Jeżeli wybralibyśmy dwa różne punkty, to albo będą współliniowe z punktem (0,0) i wtedy odległość między nimi jest zwykłą odległością euklidesową (zatem dla różnych punktów - różną od zera), albo nie będą współliniowe z punktem (0,0) i wtedy odległość między nimi zawsze będzie większa od 0.

Co do warunku symetrii, oczywiście też jest spełniony (jako, że zmiana miejscami liczb w różnicach podnoszonych do kwadratu i tak nie zmienia wartości otrzymanych wyników).

Pozostaje jeszcze nierówność trójkąta. Dla trzech punktów współliniowych z początkiem układu współrzędnych jest to zwykła odległość euklidesowa, a wiemy już, że takowa spełnia nierówność trójkąta. Zatem pozostaje nam rozważenie przypadku gdy tylko dwa punkty są współliniowe z punktem (0,0) oraz przypadku gdy żadne dwa punkty nie będą współliniowe z punktem (0,0).

Możemy oba przypadku dowieść prostym uzasadnieniem. Weźmy dwa punkty współliniowe z (0,0), takie, że na półprostej (0,0)B punkt A znajduje się między punktami B i (0,0). Wtedy  |AB| < |BC|, więc tym bardziej |AB| < |BC| + |AC|. Ponadto dla tak wybranych punktów A i B prawdziwa jest zależność: |AC| + ||AB| = |BC|. I to nam zapewnia spełnioną nierówność trójkąta dla tego przypadku.

W ostatnim przypadku, gdy żadne dwa punkty z A, B i C nie leżą z punktem (0,0) na jednej prostej mamy następującą zależność 

W ten sposób pokazaliśmy, że metryka centrum spełnia założenia metryki.

Zobaczmy jak w tej metryce wygląda okrąg:

Wszystko zależy od wyboru środka. Jeśli chcemy narysować okrąg o środku w punkcie (0,0) i promieniu 4, powstanie nam zwyczajny okrąg:

Jeśli jednak wybierzemy inny punkt za środek, wtedy sytuacja się zmieni. Oto okrąg o środku w punkcie (5,3) i promieniu 4 w metryce centrum:

Jeszcze inaczej wygląda tutaj okrąg, gdy środek jest poza początkiem układu współrzędnych, a promień jest większy od odległość środka od punktu (0,0). 

Oto okrąg o środku w punkcie S = (4,3) i promieniu r = 7:

W tym ostatnim przypadku narysowanie okręgu może sprawić najwięcej trudności. Możemy to zrobić poprzez wykonanie kilku prostych kroków. Po pierwsze łączymy punkt S (środek okręgu) z punktem (0,0). Promień okręgu jest większy niż długość |S0|. Zaznaczamy sobie na prostej S0 punkty A i B odległe o r (czyli u nas o 7) od punktu S. Do naszego okręgu będzie należał punkt A. Natomiast punkt B będzie wyznaczał promień okręgu o środku w punkcie (0,0), który też będzie częścią szukanej figury (jedynie jego punkt wspólny z prostą S0 nie należy do tej figury). Jak widzimy z obrazka promień tego mniejszego okręgu wyznaczamy odejmując od długości wyjściowego promienia długość odcinka |S0| (tutaj: 7 - 5).

Koło w tej metryce jest zwyczajnym kołem, ale pod warunkiem, że jego środek jest w punkcie (0,0).

W innym przypadku to może być odcinek:

lub odcinek i koło:

Metryka maximum

Jest to metryka, która określona jest następująco:

Zobaczmy jak wygląda tutaj odcinek

A oto okrąg w ten metryce o środku w punkcie (0,0) i promieniu 5

Okrąg o promieniu 4 i środku w punkcie (5,2):

Koło w tej metryce jest zatem kwadratem:

Metryka dyskretna

Kolejnym przykładem określania odległości między dwoma punktami jest sposób zero-jedynkowy. Nazywamy go metryką dyskretną. Określany jest następująco:

W tej metryce wszelkie odcinki, okręgi koła mogą być co najwyżej pojedynczym punktem. 

Tak więc zostaje tutaj wszystko sprowadzone do najmniejszego obiektu geometrycznego, czyli punkt (lub zbioru pustego).

Tak trywialna metryka spełnia oczywiście wszystkie założenia metryki. 

Zauważmy, że pierwszy punkt, mówiący o tym, że musi być zawsze nieujemna spełniony jest, bo jej wartość może wynosić tylko 0 lub 1.

Warunek o tym, że jest równa 0 tylko, gdy A = B mamy wprost w jej zapisie.

Oczywiście jest przemienna, bo nieważne, że sprawdzamy czy to punkt A jest równy B, czy na odwrót - wynik mimo rotacji, nie ulegnie zmianie.

Nierówność trójkąta, to chyba jedyna własność, nad którą można się tutaj dłużej pochylić.

Weźmy 3 punkty: A, B i C.

Na początku rozważmy przypadek, w którym żadne dwa punkty nie pokrywają się. Wtedy zachodzi nierówność trójkąta w postaci nieco zdegenerowanej:

|AB| = 1 < 2 = |AC| + |BC|.

Teraz weźmy dwa punkty pokrywające się, a trzeci inny (A = B):

|AB| = 0 < 2 = |AC| + |BC|

|AC| = 1 = 0 + 1 = |AB| + |BC|

I został nam jeszcze jeden przypadek - gdy wszystkie punkty się pokrywają. Wtedy:

|AB| = 0 = |AC| + |BC|

W ten sposób wykazaliśmy, że metryka dyskretna spełnia warunek trójkąta, a więc spełnia wszystkie warunki metryki.

...

Na tym skończymy tą naszą zabawę z kwadratowymi kołami i innymi ciekawymi figurami. Widać stąd, że w matematyce nic nas nie może ograniczyć, tylko nasza wyobraźnie.

- Miłej zabawy