Piąte przez dziesiąte - czyli o problemach z ułamkami

                Piąte przez dziesiąte - czyli o problemach z ułamkami

Niektórym matematyka kojarzy się z przykrym liczeniem zupełnie przypadkowych działań, z którego musi wyjść całkowicie niezrozumiały i niepotrzebny wynik. Jeśli podchodzimy w ten sposób, może okazać się, że popełniamy błędy, których nie tylko nie dostrzegamy, ale również nie pojmujemy dlaczego są uznawane za niepoprawne.

Zacznijmy zatem od rzeczy najbardziej powszechnej. Otóż bywa, że ułamek skracamy w ten sposób:

Nie jest to działanie poprawne. Dlaczego?

Możemy odpowiedzieć sobie na to pytanie wyłączając wspólny czynnik z całego licznika i dopiero wtedy skracając:

Możemy też spróbować, to zrozumieć bardziej "łopatologicznie". Otóż jeśli rolnik ma cztery tony ziemniaków i osiem ton zboża, a powódź zniszczyła mu połowę plonów, to ile mu zostało: dwie tony ziemniaków i osiem ton zboża, czy cztery tony ziemniaków i 4 tony zboża, czy może dwie tony ziemniaków i cztery tony zboża? 

Dopiero gdy wyobrazimy sobie tego rolnika (albo inny konkretny przykład) może do nas dotrzeć, że jeśli dzielimy coś złożonego z sumy/różnicy), to musimy podzielić każdy składnik tej sumy/różnicy. 

Z poprzednim błędem łączy się inny:

Tu z kolei mamy mnożenie. W takim wypadku skracamy tylko z jednym czynnikiem, np. tak: 

Jeśli do matematyki podchodzimy jako do zbioru przypadkowych znaczków, cyferek i literek, to faktycznie pierwszy przykład prawie niczym się nie różni od obecnego. 

Dlatego spróbujmy to wyobrazić sobie inaczej. 

Mamy po 8 zeszytów na każdej z czterech półek. Chcemy zmniejszyć o połowę ilość zeszytów. Jeśli jednocześnie zmniejszymy o połowę ilość półek i ilość zeszytów na każdej półce, to z początkowego stanu 32 zeszytów zostanie nam: 8 zeszytów. W żadnym wypadku nie jest to połowa. Dlatego w przypadku skracania iloczynu musimy się zastanowić czy skracamy z jednym czynnikiem, czy z drugim. Możemy albo ograniczyć o połowę ilość zeszytów na każdej półce (wtedy będziemy mieć po 4 zeszyty na 4 półkach, czyli 16), albo o połowę ograniczyć ilość półek (wtedy będziemy mieć po 8 zeszytów na 2 półkach, czyli 16 zeszytów).

Ze skracaniem ułamków zdarzają się też takie kwiatki:

Oczywiście skrócić taki ułamek możemy, ale otrzymujemy wtedy 1, a nie 0:

Natomiast, jeśli widzimy,  że dzielimy wyrażenie przez dokładnie takie samo wyrażenie, to możemy od razu zauważyć, że wynik będzie równy 1. 

Dzieje się tak dlatego, gdyż jeśli mamy pięć kawałków pizzy i pięć osób, oraz każdej osobie chcemy dać tyle samo pizzy, to ile kawałków otrzyma każda z osób?

Nawet nie podejrzewamy, jak ważną rzeczą jest pisanie znaku równości na wysokości głównej kreski ułamkowej. Weźmy taki zapis:

Jeśli nie wiemy gdzie powinien być znak równości (czyli co właściwie dzielimy przez co), to możemy otrzymać dwa różne wyniki. I żeby było zabawnie - oba są poprawne (przy założeniu, że w każdym przypadku główna kreska ułamkowa jest w innym, zapisanym tutaj miejscu):

                         

Przy okazji warto przypomnieć sobie zasadę, często niepoprawnie zapisywaną w obliczeniach. Mianowice, jeśli dzielimy przez liczbę, to równie dobrze możemy pomnożyć przez jej odwrotność. Zatem otrzymujemy takie działanie:

Tymczasem jeśli zapomnimy czym jest odwrotność, to zamiast zapisać odwrotność dzielnika, zamienimy go tylko na ułamek zwykły:

Podobnie możemy popełnić tutaj błąd, jeśli zapomnimy, że zasada o zamianie dzielenia na mnożenia dotyczy odwrotności dzielnika, a nie dzielnej:

Jak można sobie zasadę zamiany dzielenia na mnożenie wyobrazić?

Otóż, jeśli chcemy coś podzielić na trzy części, to równie dobrze możemy to coś pomnożyć przez 1/3.

Ułamki rządzą się swoimi prawami. Jednym z nich jest potrzeba sprowadzenia ułamków do wspólnego mianownika przy ich dodawaniu/odejmowaniu.

Tutaj pojawia się kolejny błąd:

Zapiszmy od razu poprawny sposób rozwiązania:

I tutaj może najść nas refleksja, dlaczego właściwie musimy sprowadzać ułamki do wspólnego mianownika, skoro pierwszy sposób (szkoda, że błędny) byłby prostszy. 

Spróbujmy podejść do odpowiedzi na kilka sposobów.

Po pierwsze, gdyby nie miało znaczenie sprowadzania do wspólnego mianownika, to otrzymalibyśmy równanie sprzeczne postaci: 

A po drugie, wspólny mianownik przy dodawaniu/odejmowaniu ułamków, to niejako ustalenie tej samej wielkości kawałków pizzy. Jeśli pierwszą pizzę podzielimy na 5 równych części i mamy z niej dokładnie trzy kawałki, a drugą pizzę na cztery równe części i otrzymujemy jedną taką część, to razem jaką część pizzy mamy? W zapisie matematycznym, wiemy, że nasze kawałki pizzy razem dają: 

Nadal jednak nic nam to nie pomaga. Wyobraźmy sobie, że umiemy nasze pizze dzielić na dowolną ilość równych kawałków. Wtedy jeśli w pierwszej pizzy każdy kawałeczek podzielimy jeszcze na cztery równe części, a w drugiej - każdy kawałek, na pięć równych części, to nagle otrzymamy wszędzie kawałki tej samej wielkości. Wtedy z pierwszej pizzy będziemy mieć 12 kawałków, a z drugiej 5. Razem da nam to 17 kawałków wielkości 1/20 pizzy.

Będąc przy temacie działań na ułamkach, czasem zdarza się, że doprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika również przy mnożeniu/dzieleniu. Nie jest to faktycznie błąd, ale dodatkowa i niepotrzebna praca. Jeśli zatem ktoś wykonuje mnożenie ułamków w ten sposób:

to wynik otrzymuje poprawny, ale o ileż to jest dłuższe niż najprostsze obliczenie tego  samego:

Dużą trudność stanowi też porównywanie ułamków. Oczywiście zawsze możemy sprowadzić oba ułamki do wspólnego mianownika. Jednak czasem mamy porównać ułamki, w których liczniki lub mianowniki są sobie równe.

Wydaje się, że większa liczba w ułamku gwarantuje, że cały ułamek jest większy. Tymczasem warto zapamiętać, że jeśli mamy dwa ułamki z takimi samymi mianownikami, to oczywiście ta jest większa, której licznik jest większy:

Jednak jeśli mamy dwa ułamki, z takimi samymi licznikami, to należy pamiętać, że ta liczba jest większa, która ma mniejszy mianownik:

Dzieje się to z tej prostej przyczyny, że zarówno po lewej, jak i po prawej stronie mamy tyle samo kawałków. Jednak - patrząc na mianowniki - widzimy, że całości podzielono na różną liczbę kawałków. Jeśli podzieliliśmy pizzę na 13 części, to każda z tych części będzie większa niż kawałek z pizzy podzielonej na 14 równych części.

Widzimy zatem, że nawet zwykłe ułamki mogą być przyczyną wprost niezwykłych błędów...