Grawitacja nieskończoności
Właściwie od początku swego istnienia człowiek nieustannie z nią walczył. Już od wczesnych lat dzieciństwa, kiedy to stawiał swe pierwsze kroki, chwiejne i niepewne, wiedział, że musi ją stale pokonywać. A potem nieraz, na skutek jej siły pojawiało się rozbite kolano, guz na głowie, czy siniak na ramieniu. Tak, siła grawitacji od najmłodszych lat, zawsze dawała się ludziom we znaki. Co zabawne, jeszcze do XVII wieku ludzie nie wiedzieli od czego zależy jej natężenie. Dopiero w roku 1687 Izaak Newton opisał to w swoim "Philosophiae Naturalis Principia Mathematica". Tam pojawiły się jego słynne trzy zasady dynamiki, z których trzecia mówiła o zawsze wzajemnym oddziaływaniu na siebie dwóch ciał. Zatem, można było przypuszczać, że nie tylko Ziemia przyciągała człowieka, ale też człowiek przyciągał Ziemię. Dlaczego jednak to człowiek musiał upadać, przewracać się i wspinać, a cała planeta zdawała się trwać niewzruszenie? Na to pytanie również Izaak Newton udzielił odpowiedzi w swoim dziele. Otóż sformułował on prawo powszechnego ciążenia. Mówiło ono, że siła z jaką ciało przyciąga drugie jest wprost proporcjonalna do iloczynu mas tych ciał, a jednocześnie odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości między nimi.
Zasadniczą rolę odgrywa tu jednak przyspieszenie takowego przyciągania. Wiemy, że wartość przyspieszenia jest wprost proporcjonalne do siły, ale odwrotnie proporcjonalne do masy ciała.
Przyspieszenie przyciągania Ziemi przez człowieka, jest odwrotnie proporcjonalne do masy Ziemi, a więc znacznie wolniejsze niż przyspieszenie przyciągania człowieka do Ziemi (które to przyspieszenie jest odwrotnie proporcjonalne do masy człowieka). Widzimy zatem, że im większa jest różnica mas, tym przyspieszenie przyciągania do ciała o masie mniejszej jest wolniejsze. W przypadku znacznych różnic mas, tak jak jest to dla człowieka i Ziemi, to przyciąganie do człowieka ma przyspieszenie tak małe, że pomijalne w porównaniu do przyciągania człowieka do Ziemi.
W porządku, to wszystko znamy nie tylko z lekcji fizyki, ale też autopsji. Co to jednak ma wspólnego z nieskończonościami?
Zasadniczo, zawsze możemy sobie wyobrazić, że zbiór liczb naturalnych to taka nasza Ziemia. I właśnie ta Ziemia ma również swoją masę. Uznajmy za jej masę ilość elementów tego zbioru. Owszem, nie znamy jej (bo czy można policzyć nieskończoność?), ale przyjmujemy, że jest ona równa "alef zero":
Teraz powróćmy do naszej analogii z dwoma ciałami o drastycznie różnych masach. Tym razem zamiast człowieka weźmiemy pojedynczy meteoryt. Zatem wyobraźmy sobie, że ten meteoryt zbliża się do naszej Ziemi. Co może zrobić Ziemia? Biorąc pod uwagę drastyczną różnicę mas, może tylko go przyciągnąć do siebie.
W matematyce, wiemy, że jeśli do zbioru liczb naturalnych dodamy jedną liczbę, nadal będziemy mieć tych liczb alef zero.
Ogólnie rzecz biorąc, możemy wykazać, że zbiór liczb naturalnych jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych zwiększonym o 1 element, pokazując, że istnieje przekształcenie bijektywne przekształcające jeden zbiór na drugi
(W tym miejscu warto przypomnieć, że przekształcenie: f :X-->Y jest bijektywne, jeśli jest różnowartościowe (injekcja) i jego zbiorem wartości jest cały zbiór Y (surjekcja)).
W takim razie określmy taką funkcję:
Wtedy f(-1)=0, f(0)=1, f(1)=2, ... f(n) = n+1. Ponieważ jesteśmy w zbiorze nieskończonym, to dla każdego tak wybranego n znajdziemy liczbę o 1 większą. Widzimy, że ta funkcja jest nie tylko przekształceniem różnowartościowym, ale też pozwala otrzymać wszystkie elementy zbioru liczb naturalnych. Zatem jest to bijekcja.
I znowu, możemy pokazać równoliczność zbioru liczb naturalnych i zbioru liczb naturalnych zwiększonego o skończoną ilość elementów.
Tutaj wybierzmy funkcję: f(x) = x - n
Możemy łatwo wykazać, że jest różnowartościowa (dla każdych dwóch argumentów uzyskamy dwie różne wartości) i surjektywna (w ten sposób osiągniemy cały zbiór liczb naturalnych).
Jednak nie zatrzymujemy się na tak prozaicznych przykładach. A co, gdyby do naszej Ziemi zbliżyła się druga planeta o identycznej masie? Wtedy nie możemy już pominąć jej przyspieszenia, ale - okazuje się, że i tak obie by się do siebie przyciągnęły. Możemy to napisać, jako:
W celu pokazania prawdziwości tego równania najpierw zauważmy, że liczby całkowite, to liczby naturalne i liczby do nich przeciwne. Zatem, intuicyjnym się wręcz wydaje (i przypadkowo też poprawnym :)), aby liczność zbioru liczb całkowitych wynosiła dwa razy alef zero. Zatem jeśli znajdziemy bijekcję przekształcającą zbiór liczb naturalnych na zbiór liczb całkowitych, to w istocie wykażemy, że oba zbiory są równoliczne. Warunki te spełnia funkcja:
To i tak jeszcze nic. Przecież tych planet zupełnie podobnych do Ziemi może zbliżyć się do niej skończona ilość.
I co w takim przypadku?
Tutaj wypadałoby przypomnieć sobie pewne prawa rządzące działaniami na liczbach kardynalnych (czyli na liczbach będących licznością zbiorów). Otóż jeśli przyjmiemy, że a, b to liczby kardynalne, przy czym a = |A|, b = |B| i zbiory A i B są rozłączne, to prawdziwe są zależności:
Kłopotliwe wydaje się tylko to, że te wiersze nie są rozłączne, np. 1/1 = 2/2 = 3/3 =... Jednak taki kłopot, to nie kłopot, bo powtarzające się wyrazy możemy wykreślić. Na głównej przekątnej powtarza się wyrazów najwięcej i jest ich (n-1). Jest ich skończona ilość, a zatem w porównaniu z nieskończonością wszystkich liczb naturalnych - zupełnie pomijalna. Wszystkie inne przypadki (proste) wyznaczają mniejszą ilość punktów takich samych, a więc już na pewno skończoną.
Stąd, po wykluczeniu nieskończonej ilości zbiorów skończonych, suma wszystkich i tak nadal będzie nieskończona.
W ten sposób udało się nam wykazać, że istnieje przekształcenie bijektywne, które przekształca zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb naturalnych do potęgi n:
Oznacza to, że każda skończona ilość planet podobnych do Ziemi również się do siebie wzajemnie przyciągnie.
Teraz spróbujmy wyobrazić sobie nieskończoną ilość planet podobnych do Ziemi. Jeśli tych planet będzie razem dokładnie tyle ile jest liczb naturalnych, będzie ich alef-zero.
Tym razem utworzymy sobie nieskończenie wiele ciągów liczb naturalnych (a dokładnie utworzymy alef-zero ciągów).
W ten sposób uzyskujemy funkcję f:
Idąc wzdłuż nich zauważmy, że uzyskujemy następujący wartości:
I tak możemy się bawić z wszystkimi planetami, które są podobne do siebie. Wiadomo, że i tak ostatecznie się do siebie zbliżą i przyciągną.
Może być jednak inna sytuacja. Otóż na drodze takiej planetki, nagle może pojawić się znacznie większe od niej Słońce.
I co wtedy?
Pewnie nasza Ziemia zostanie przyciągnięta do Słońca, bo z rachunku mas (a u nas - z rachunku mocy zbiorów) wynika, że Słońce ma niewspółmiernie więcej elementów. Tylko, co może być masą naszego Słońca?
Może nim być ilość wszystkich liczb rzeczywistych. Moc tego zbioru oznaczamy jako "continuum": c
I jest ona - wreszcie!!! - większa od alef-zero.
Pokażemy to metodą nie-wprost, a więc przyjmując na początku hipotezę, że owszem, jak najbardziej obie moce zbiorów są równe, a potem dojdziemy do sprzeczności.
Wybierzmy sobie podzbiór zbioru liczb rzeczywistych [0;1]. Jeśli pokażemy, że jest on nieprzeliczalny (czyli o mocy większej od mocy zbioru liczb naturalnych), to wykorzystując fakt, że jeśli podzbiorem jakiegoś zbioru jest zbiór nieprzeliczalny, to cały ten zbiór też musi być nieprzeliczalny - właściwie mamy dowód skończony.
Zacznijmy zatem od tego, że gdyby moc przedziału [0;1] była równa alef-zero, to moglibyśmy ułożyć wszystkie liczby z przedziału [0;1] w ciąg równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych. Utwórzmy zatem ciąg, który będzie zbudowany następująco: kolejne wyrazy tego ciągu będą jednocześnie cyframi na kolejnych miejscach po przecinku. W ten sposób liczba 0,45 będzie ciągiem: (4,5,0,0,0,...), a liczba 1/3 ciągiem: (3,3,3,3,...). Teraz utworzymy ciąg, który wyraz na i-tym miejscu będzie miał uzależniony od wyrazu i-tego ciągu na i-tym miejscu. Zależność ta będzie następująca: jeśli liczba na i-tym miejscu w i-tym ciągu jest większa od 4, to w ciągu nowym wpiszemy na i-tym miejscu 6, w przeciwnym wypadku: 4.
Zapiszmy sobie kilka pierwszych wyrazów takiego ciągu dla liczb: 0,011111; 0,121345; 0,24567;, 0,2545
Zauważmy, że ciągi utworzone z tych liczb byłyby postaci: (0,1,1,1,1,1,0,0,..), (1,2,1,3,4,5,0,0...), (2,4,5,6,7,0,0,...), (2,5,4,5,0,0,...)
Teraz weźmy z pierwszego ciągu pierwszy wyraz. Jest on równy 0, więc zamieniamy go na 6. Z drugiego weźmy drugi wyraz. Wynosi on 2, więc znowu zamieniamy go na 6. Z ciągu trzeciego bierzemy wyraz trzeci, który jest równy 5, więc zamienimy go na 4. Następnie z ciągu czwartego weźmiemy wyraz czwarty, czyli 5 i zamienimy go znowu na 4. Budując w ten sposób nowy ciąg postaci (4,4,5,5,...) otrzymamy całkowicie nowy ciąg, który nie jest równy żadnemu z wcześniej tworzonych ciągów z rozwinięć liczb z przedziału [0;1]. To dowodzi, że istnieje liczba z przedziału [0;1], która nie została uwzględniona przy budowaniu ciągów z liczb z owego przedziału. Zatem podany ciąg nie zawiera wszystkich liczb z tego przedziału. Stąd możemy stwierdzić, że owy przedział jest nieprzeliczalny.
W analogiczny sposób możemy wykazać, że zbiór liczb rzeczywistych jest nieprzeliczalny.
Zauważmy, że suma logiczna zbioru i jego podzbioru jest równa temu zbiorowi. Ponieważ wiemy, że zbiór liczb naturalnych zawiera się w zbiorze liczb rzeczywistych, to uzyskujemy:
Istnieje jednak jeszcze coś. Otóż w świecie matematycznym nie udało się ani dowieść, ani obalić teorii, że istnieje, coś (trwając w tej analogii) pomiędzy Ziemią a Słońcem. Dokładnie rzecz biorąc, na razie nie możemy ani potwierdzić, ani zaprzeczyć temu, że istnieje nieskończona liczba kardynalna, która jest większa od alef-zero, ale mniejsza od continuum. Jest to tzw. Hipoteza Continuum. Jest to kolejny problem do rozwiązania, jaki czeka na genialnych matematyków od zeszłego stulecia.
Kraków, 2021
Komentarze
Prześlij komentarz