Nie bójmy się wielkich liczb

 W życiu codziennym raczej nie spotykamy się z wielkimi liczbami. Tak przynajmniej może się nam wydawać. Czy jednak to do końca prawda?

Owszem, nie wszystkich musi interesować np. odległość pomiędzy poszczególnymi planetami (A tutaj zawsze warto pochylić się nie tylko nad tym, że np. z Ziemi do Słońca odległość wynosi około 8 min 19 s świetlnych, czyli 1,58×10⁻⁵ lat świetlnych, przy czym jeden rok świetlny to 300 000 km/s. Zatem w kilometrach odległość ta będzie równa około  149 600 000 km.

Natomiast odległość Ziemi do Księżyca wynosi ok. 384 403 km, a średnia odległość Ziemi do Jowisza to 778 milionów kilometrów. Gdybyśmy chcieli wyobrazić sobie jak wygląda zależność pomiędzy tymi odległościami, to możemy posłużyć się ich stosunkiem. Wtedy zauważymy, że gdyby uznać, że odległość między Księżycem, a Ziemią wynosi 1mm, to odległość między Słońcem, a Ziemią byłoby to już blisko 39 cm, natomiast między Ziemią a Jowiszem - ponad 2 m.

Warto też przyjrzeć się masom wymienionych powyżej obiektów i zależności między nimi.

Otóż masa Księżyca (którą znowu potraktujemy jako nasz odnośnik do pozostałych) wynosi około 7,3477 × 10²² kg (73,477 tryliardów kilogramów). 

Masa Ziemi  - 5,9722 × 10²⁴  kg 

Masa Słońca =  1,9884 × 10³⁰ kg 

Masa Jowisza = 1,8986 × 10²⁷ kg 

Znowu przyjmując odniesienie do masy Ksieżyca, jeśli masa ta byłaby równa 1 g, to:

masa Ziemi byłaby równa 81 g, masa Słońca - 27 ton, a masa Jowisza - 25 kg

Takie stosunkowe zestawienie wielkości pozwala nam nieco uporać się z wielkimi liczbami i zobaczyć jakie są miedzy nimi zależności.

Podobnie można rozpatrywać wyobrażanie sobie zależności między wielkościami bardzo małymi.

Otóż wiemy, że średnica atomu wodowu wynosi około 30 pm (pikto metrów), czyli 30 × 10^-12 m.

Średnica atomu uranu to już 138,5 pm, czyli 138,5 × 10^-12 m.

Grubość ludzkiego wlosa może mieć maksymalnie 0,14 mm.

U człowieka krwinka czerwona (czyli erytrocyt) ma średnicą 6–7 μm (mikro metrów), czyli ok. 6,5 x 10^-6 m.

Zatem atom uranu jest ok. 4,6 razy większy od atomu wodoru.

Natomiast ludzki erytrocyt jest około 50 000 razy większy od atomu uranu i około 216 000 razy większy od atomu wodoru.

Jednocześnie grubość ludzkiego włosa jest o około 21 500 raza większa od erytrocytu.

Wielkości, które są bardzo małe, albo bardzo duże możemy porównywać na killa sposobów.

Jednym z takich sposobów jest to, co pokazaliśmy powyżej, czyli odnoszenie jendej wielkości za pomocą drugiej, czyli ile razy jedna wielkość mieści się w drugiej.

Drugim sposobem, jest dość zbliżony do pierwszego, ale odnoszący się do porównania do jednej konkretnej wielkości.

W przypadku astronomii powszechnie wykorzystuje się jednostkę astronomiczną (au), która jest średnią odległością Ziemi od Słońca (przyjęta jako 149 597 870 700  m, czyli ok. 1,5 x 10⁸ km ).

Używa się również lat świetlnych (ly) (1ly to około 300 000 km/s)

Przy porównywaniu dwóch wielkości pomocne jest stosowanie notacji wykładniczej.

Jeżeli chcielibyśmy porównać masę ziarnka maku (0,0005 g) z masą wieży Eiffla (10 000 ton), to możemy postąpić następująco:

Najpierw zapiszemy obie wielkości w notacji wykładniczej:

Następnie wykonamy dzielenie:

Wykorzystajmy fakt, że 10¹² = bilion, więc 10¹⁴ = 10²⁺¹² =10² *10¹² =100 bilionów.

Ostatecznie:

Waga wieży Eiffla jest 166 bilionów razy większa od wagi ziarenka maku. 

W matematyce wykorzystujemy też skalę częstotliwości występowania danego zjawiska. Na tej podstawie możemy określić czy dane zjawisko jest częste, czy rzadkie i jak bardzo. Dlatego nie interesuje nas sama ilość wystąpień danego zjawiska, ale również odniesienie do wszystkich przypadków (całej populacji). 

W odniesieniu do wcześniejszych infrormacji możemy pochylić się również nad zagadnieniem dobroczynności szczepionek na COVID-C19.

Według CDC (Centers for Disease Control and Prevention) liczba zgonów po szczepieniach na covid-19 wynosi 10 128 na 459 mln podanych dawek. Daje to wskaźnik śmiertelności na poziomie 0,0022%. To jest w istocie niewiele, właściwie pomijalne.

Jednak jeśli przyjmiemy ten wskaźnik za obowiązujący, to po zaszczepieniu całej ludności Polski (ok. 38 mln ludzi) umarłoby 836 ludzi. A to już nie jest tak mało...

Każda śmierć, to dużo, bo człowiek, to zawsze pojedyncze i niepowtarzalne istnienie.

Źródła:

https://www.gov.uk/government/publications/coronavirus-covid-19-vaccine-adverse-reactions/coronavirus-vaccine-summary-of-yellow-card-reporting

https://www.cdc.gov/coronavirus/2019-ncov/vaccines/safety/adverse-events.html

/Kraków, 24 IX 2023